Acasă Cultura Șirul lui Fibonacci. Exemple stranii din natură ale Proporției de Aur și...

Șirul lui Fibonacci. Exemple stranii din natură ale Proporției de Aur și studiul șirurilor numerice recurente de tip an+1= f(an)

383
0

Faimosul Șir al lui Fibonacci a captivat matematicienii, artiștii, designerii și savanțîi timp de secole. Cunoscut și că Proporția de Aur, răspândirea să pretutindeni și uimitoarea să funcționalitate în natură îi sugerează importantă că o caracterist

Faimosul Șir al lui Fibonacci a captivat matematicienii, artiștii, designerii și savanțîi timp de secole. Cunoscut și ca Proporția de Aur, răspândirea să pretutindeni și uimitoarea să funcționalitate în natură îi sugerează importantă că o caracteristică fundamentală a Universului.

Șirul lui Fibonacci începe astfel: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 și continuă așa la nesfârșit. Fiecare număr al secvenței este suma celor două numere care îl preced. Este un model simplu, dar pare să fie un fel de sistem de numerotare încastrat în structura cosmosului. Aici sunt 15 uimitoare exemple de „phi” (litera grecească desemnând Proporția de Aur) în natură.

Leonardo Fibonacci a decoperit acest șir pe când calcula expansiunea ideală a perechilor de iepuri în decursul unui an. Astăzi modelele și proporțiile ei emergente (phi=1,61803…) pot fi văzute de la micro-scară până la macro-scară, și printre sistemele biologice și obiectele neînsuflețite. Deși Proporția de Aur nu explică orice structura sau model din univers, este cu siguranță un jucător major. Aici sunt câteva exemple.

Petalele de floripiciorul cocosului Fibonacci

Numărul petalelor la o floare urmează consistent Șirul lui Fibonacci. Exemple faimoase includ crinul, care are trei petale, piciorul-cocoșului, care are cinci, cicoarea cu 21, margareta cu 34, și așa mai departe.phi apare în petale datorită aranjamentului ideal de împachetare, așa cum este selectat de procesele darwiniene; fiecare petală este plasată la 0,618034 din circumferința (dintr-un cerc de 360°), permițând cea mai bună expunere la lumina soarelui și la alți factori.

Capetele (maciuliile) cu semințe

Capătul unei flori este supus și el proceselor fibonacciene. În mod tipic, semințele sunt produse în centrul florii și apoi migrează către exterior, pentru a umple tot spațiul. Floarea-soarelui furnizează un exemplu excelent al acestor modele spiralate.

În unele cazuri, capetele cu semințe sunt atât de strâns înghesuite, încât numărul total poate fi destul de mare – până la 144 și chiar mai mare. Și când aceste spirale sunt numărate, totalul tinde să se potrivească unui număr Fibonacci. Interesant, un număr puternic irațional este necesar pentru a optimiza umplerea unui spațiu (adică un număr care nu este bine reprezentat printr-o fracție). phi se potrivește destul de bine sarcinii.

Conurile de pin/bradCon de brad Fibonacci

În mod similar, semințele de pe un con sunt aranjate într-un tipar în spirală. Fiecare con constă într-o pereche de spirale, fiecare răsucindu-se spre în sus și în direcții opuse. Numărul de pași se va potrivi aproape întotdeauna unei perechi de numere Fibonacci consecutive. De exemplu, un con 3-5 este unul pe care spiralele se vor reîntâlni în spate după trei pași pe spirală stânga și 5 pași pe cea dreapta.

Fructe și legume

La fel, modele spiralate similare pot fi găsite pe ananas și conopidă.

Ramurile copacilorRamuri copac Fibonacci

Șirul lui Fibonacci mai poate fi văzut în modul în care se formează sau se ramifică ramurile copacilor. Un trunchi principal va crește până produce o ramură, care creează două puncte de creștere. Apoi, una dintre noile tulpini se va ramifică în două, în timp ce cealaltă rămâne latentă. Acest model de ramificare este repetat pentru fiecare dintre noile tulpini. Un bun exemplu este coadă-șoricelului (Achillea ptarmica). Sistemele rădăcinilor și chiar și algele prezintă acest model.

Cochiliile

Proprietățile unice ale Dreptunghiului de Aur oferă încă un exemplu. Această formă, un dreptunghi în care raportul laturilor A/B eșe egal cu proporția de aur (phi), poate avea că rezultat un proces de cuibarire care poate fi repetat la infinit – și care ia formă unei spirale. Este numită spirală logaritmică și abundă în natură.

Scoica Fibonacci

Cochiliile melcilor și ale nautilusilor urmează spirală logaritmică, cum face și cochlea urechii interne. Mai poate fi văzută și la coarnele anumitor specii de capra și la formă unor pânze de păianjen.

Galaxiile spiraleGalaxii Fibonacci

Nu este surprinzător că galaxiile spirale urmează și ele modelul familiar Fibonacci. Calea Lactee are câteva brațe spirale, fiecare dintre ele fiind o spirală logaritmică de circa 12 grade. Că o remarcă secundară interesantă, galaxiile spirale par să sfideze legile fizicii newtoniene. Încă din 1925, astronomii au realizat că, întrucât viteză unghiulară de rotație a discului galactic variază cu distanță față de centru, brațele radiale ar trebui să devină curbate, pe măsură ce galaxia se rotește. Ulterior, după câteva rotațîi, brațele spirale ar trebui să se înfășoare în jurul unei galaxii. Dar ele nu o fac – de aici așa-numită problema a infasurarii. Stelele din exterior, se pare, se mișcă cu o viteză mai mare decât era de așteptat – o trăsătură unică a cosmosului, care ii permite să își rețină formă.

Uraganele

Uragane FibonaciiFețele

Fețele, atât cele umane, cât și cele non-umane, abundă de exemple ale Proporției de Aur. Gură și nasul sunt fiecare poziționate la secțiuni de aur ale distanței dintre ochi și capătul de jos al bărbiei. Proporții similare pot fi văzute din lateral, și chiar însăși în ceea ce privește ochiul și urechea (ce urmează de-a lungul unei spirale). Este demn de notat că fiecare corp al unei persoane este diferit, dar că mediile prin Fata si sirul lui Fibonaccisecțiunea statistică a unei populații tind către „phi”. S-a mai spus și că, cu cât mai strâns adera proporțiile noastre la „phi”, cu atât mai „atractive” sunt percepute acele tasaturi. Că un exemplu, cele mai „frumoase” zâmbete sunt cele în care incisivii centrali sunt cu 1,618 mai lați decât incisivii laterali, care sunt cu 1,618 mai lați decât caninii, și așa mai departe. Este destul de posibil că, dintr-o perspectiva evolutiv-psihică, să fim pregătiți să ne placă formele fizice care adera la proporția de aur – un potențial indicator al unei bune forme fizice și capacități de reproducere.

Degetele

Privind la lungimea degetelor, fiecare secțiune – de la vârfuri până la încheietura – este mai mare decât cea precedentă cu aproximativ proporția „phi”.

Corpurile animalelor

Corpurile animalelor FibonacciChiar și propriile noastre corpuri prezintă proporții care sunt asemănătoare numerelor Fibonacci. De exemplu, măsurile de la ombilic până la podea și din vârful capului până la ombilic au între ele proporția de aur. Corpurile animalelor prezintă tendințe similare, inclusiv delfinii(ochii, aripioarele și coadă se încadrează, că proporții între ele, că Secțiuni de Aur), stelele de mare, aricii de mare, furnicile și albinele.

Dinamicile reproductive

Vorbind de albine, ele urmează Șirul lui Fibonacci în alte moduri interesante. Cel mai profund exemplu este cel al împărțirii numărului de femele dintr-o colonie la numărul masculilor(femelele întotdeauna depășesc numeric masculii). Răspunsul este tipic ceva foarte apropiat de 1,618. În plus, arborele genealogic al albinelor urmează și el același model familiar. Masculii au un părinte (o femela), în timp ce femelele au doi părinți (o femela și un mascul). Deci când se ajunge la arborele genealogic, masculii au 2, 3, 5 și 8 bunici, străbunici, stră-străbunici, respectiv stră-stră-stră…….străbunici. Urmând același model, femelele au 2,3,5,8,13 și așa mai departe. După cum s-a notat, fiziologia albinei urmează și ea destul de strâns Curbă de Aur (spirală logaritmică).

Modelele de luptă ale animalelor

Când un șoim se apropie de pradă, vederea cea mai bună este dintr-un anumit unghi al direcției de zbor – un unghi care este la fel că cel al pasului spiralei.

Uterul

Potrivit lui Jasper Veguts, ginecolog la Spitalul Universitar Leuven din Belgia, doctorii pot spune dacă un uter arată normal și sănătos, bazându-se pe dimensiunile relative ale acestui organ – dimensiuni ce aproximează proporția de aur.

Uterul FibonacciPreluare din The Guardian: În decursul ultimelor câteva luni, el a măsurat uterele a 5 000 de femei, utilizând ultrasunete, și a realizat un tabel al rapoartelor medii ale lungimii și lățimii pentru diferite sectoare de vârstă. Datele arată că acest raport este circa 2 la naștere și apoi se micșorează constant de-a lungul vieții unei femei până la 1,46, când această este bătrână. Dr. Verguts a fost entuziasmat să descopere că atunci când femeile sunt la perioada de maximă fertilitate, între 16 și 20 de ani, raportul lungime/lățime al uterului este 1,6 – o foarte bună aproximare a proporției de aur. „Această este pentru prima oară când cineva a investigat acest lucru, așa că sunt mulțumit că a ieșit așa de bine”, a spus el.

 Moleculele ADN

Chiar și domeniul microscopic nu este imun la Fibonacci. Moleculele de ADN măsoară 34 de angstromi lungime și 21 lățime pentru fiecare ciclu complet al dublei lor spirale. Aceste numere, 34 și 21, sunt numere din Șirul lui Fibonacci și raportul lor este 1,6190476, aproximand destul de strâns phi = 1,6180339.

Sursă: Viața Verde Viu

Corespondenta de la Emil Stanciu, Senior Editor Jurnalul Bucurestiului

A se vedea și articolul lui Thomas Csinta, rsearch professor of Applied Mathematics in SEES (Social–Economic and Engineering Sciences)

Commentaire sur certaines suites réelles de type f(an, an+1)=0 à coefficients variables. Problèmes proposés pour les étudiants des classes prépas aux grandes écoles scientifiques et commerciales de CUFR Roumanie (Conseil Universitaire Formation Recherche auprès des grandes écoles françaises). Probleme propuse (cu soluții) studenților CUFR România candidați la concursurile de admitere în sistemul ultraselectiv al sistemului de învățământ superior francez „Grandes Ecoles”