Matematici Speciale (seminar). Teorema fundamentală și Formula integrală Cauchy pentru elevi – „preparatoriști” și elevi – ingineri

Matematici Speciale–seminar. Teorema fundamentală și Formula integrală Cauchy

Nota redacției

Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) a fost unul dintre cei mai mari matematicieni francezi (și ai lumii), unul dintre fondatorii matematicii moderne.  A demarat un proiect important de reformulare și demonstrare riguroasă a teoremelor de algebră, a fost unul dintre pionierii analizei matematice și a adus o serie de contribuții și în domeniul fizicii.. Datorită perspicacității și rigurozității metodelor sale, Cauchy a avut o influență extraordinară asupra contemporanilor și succesorilor săi.Influențat de către  Pierre-Simon Laplace și Joseph-Louis Lagrange, el devine profesor la celebra Școala Politehnică (Ecole Polytechique) și Collège de France, fiind ales membru al Academiei franceze în 1816. Cauchy a lăsat posterității un număr enorm de lucrări matematice care au fost publicate din 1882 pâna în 1974 în Opere complete. Este vorba de 27 volume care cuprind circa 800 de articole din domeniile: algebră, analiză matematică, mecanică și teoria probabilităților.

• Cauchy a îmbunătățit rezultatul teoremei lui Lagrange referitoare la rezolvare ecuațiilor algebrice generale, obținând ceea ce azi numim teorema lui Cauchy.
• În algebra modernă, studiază legile de compoziție, fiind, alături de Lagrange, precursorul teoriei grupurilor.
• Dezvoltă teoria determinanților și determină proprietățile principale ale acestora.
• În cadrul algebrei liniare studiază ceea ce ulterior se va numi matricea lui Cauchy.
• Introduce noțiunile de „modul al unui număr complex“, „numere complexe conjugate”.
• Cauchy dă o fundamentare nouă analizei matematice. Definește riguros infinitul mic prin trecere la limită. A dat definiția continuității funcției și a studiat funcțiile cu variabile complexe.
• Contribuțiile lui Cauchy în domeniul analizei matematice au fost atât de bine fundamentate, că și-au păstrat valoarea până în zilele noastre. Acestea au fost revizuite pe baza teoriei mulțimilor a lui Georg Cantor
• definește șirul Cauchy
• enunță criteriul de convergență: criteriul Cauchy
• extinde rezultatele lui Bernard Bolzano
• duce mai departe lucrările lui E. Heine și Cantor privind definirea riguroasă a mulțimii numerelor reale.
• demonstrează convergența seriilor geometrice
• descoperă formula Cauchy-Hadamard cu care calculează raza de convergență a unei serii de puteri
• obține produsul Cauchy al seriilor și studiază convergența acestuia
• demonstrează și întărește teorema lui Taylor
• demonstrează mai strict convergența șirului lui Euler
• Utilizând conceptul de limită, Cauchy elaborează definiția derivatei, spre deosebire de Lagrange și Laplace, care s-au bazat pe seriile Taylor. În ceea ce privește calculul integral, utilizează procesul-limită, prin care intervalul de integrare este împărțit la infinit. În 1842 propune metode de calcul al primitivelor funcțiilor raționale, cu aplicații în astronomie (mecanica corpurilor cerești).
• Pentru sistemele liniare de ecuații diferențiale cu coeficienți constanți, Cauchy a dat o soluție bazată pe transformarea Fourier. Domeniul de existență îl obține prin metoda liniei poligonale (care ulterior îi va purta numele).
• Contribuțiile lui Cauchy în domeniul funcțiilor complexe sunt complet novatoare. Până atunci, pentru calculul integralelor reale, ca și Laplace, utilizase planul complex în mod intuitiv, fără a avea o bază teoretică riguroasă. În Curs de Analiză va defini pentru prima dată funcția cu variabile complexe. Până în 1840 era singurul care se ocupa de acest domeniu, atât de vastă era contribuția sa în teoria funcțiilor.
• În domeniul poliedrelor, propune o demonstrație a teoremei lui Descartes–Euler referitoare la numărul fețelor, vârfurilor și muchiilor unui poliedru convex. Aici aduce un lucru nou utilizând ceea ce, mai târziu, va fi numit proiecție stereografică.
• Aplică analiza matematică în geometrie studiind: tangenta, ecuația planului, suprafețele de ordinul al doilea.
• În 1813 a demonstrat teorema egalității a două poliedre regulate convexe, care constituie prima aplicație a topologiei la o problemă netopologică, teoremă care a contribuit la completarea geometriei lui Euclid.
• Ecuațiile Cauchy-Riemann
• Legea de distribuție Cauchy, numită și Legea de distribuție Cauchy- Lorentz, cu multiple aplicații în statistică, analiza spectrală, studiul mișcării ocilatorii
• Restul Cauchy: este o formă diferită față de restul lui Lagrange. Astfel restul Cauchy după n termeni ai seriei Taylor pentru o funcție f(x) în vecinătatea lui x₀ este dat de:
• În cadrul mecanicii studiază elasticitatea corpurilor. Enunță legi privind variațiile de tensiune din solide, condensarea și dilatarea. În domeniul opticii, studiază propagarea luminii, reflexia, refracția și dispersia, reconsiderând lucrările anterioare ale lui Fresnel, Coriolis și regăsind rezultatele lui Brewster. Demonstrează existența undelor evanescente, verificate experimental de către Jasmin. Pune în evidență fenomenul de difracție. În cadrul astronomiei,  reconsiderând teoria perturbației elaborată anterior de către Lagrange, Laplace și Poisson, studiază problema stabilității sistemului solar. În 1845 memoriul lui Le Verrier asupra planetei Pallas este verificat de Cauchy în câteva ore.

 

Cartea „Investigații Jurnalistice” dedicată Generalului Constantin – Bartolomeu Săvoiu. Cultură generală prin intermediul „faptului divers” din lumea contemporană franceză și internațională (marea criminalitate–crima organizată, terorism–jihadologie, crime de sânge, crime sexuale–kidnapping, crime economico–financiare, erori judiciare–revizuirea condamnărilor penale–repararea detenției și a erorilor judiciare). Lansarea cărții va avea loc la BCU (Bibliotreca Centrală Universitară) din București

Direcția și Redacția Jurnalul Bucureştiui

Thomas Csinta, Chief Editor

Parteneriat Jurnalul Bucureştiului