Simetria ca termen, a intrat în uz sub formă convențională, în sensul împărțirii întregului în segmente egale. În schimb, dacă împărțirea întregului se bazează pe o formulă matematică unde corelația între componente este de aproximativ o treime raportat la două treimi, ea va conduce către Secțiunea de aur (Raportul de aur, Proporția de aur, Numărul de aur/Divine Proportion) considerată ca fiind ideală deși a-simetrică. De-a lungul istoriei Secțiunea de aur prezintă aspecte diverse în ceea ce privește utilizarea formulei matematice din care derivă, ea apare în diferite domenii-printre altele, în cadrul artelor. Dacă arhitectura poate fi considerată artă–după opinia noastră da, sprijin să ne fie aserțiunea lui Lessing potrivit căreia ea, arhitectura este muzică înghețată, Secțiunea de aur își va găsi locul în proiectarea estetică a proporțiilor clădirilor zămislite.
Dar, despre ce este vorba ? Împărțirea întregului în două părți egale este la îndemâna tuturor (desigur, multe domenii se bazează pe acest sistem de gândire), în schimb, o formulă sofisticată a cărei origine se plasează aproximativ în secolul al V-lea înaintea erei noastre, susține că echilibrul ideal între cele două segmente este acela de 0,618 respectiv 0,382, sub formă de cifre rotunjite, în loc de numerele cu infinite, nenumărabile zecimale.
______________0,618_______________I___0,382_
Cu alte cuvinte, raportul ideal se plasează între (aproximativ) o treime și (aproximativ) două treimi a întregului. Dacă ne referim la desenul linear al relației, el reprezintă o ecuație în care segmentul întreg (a) se va raporta la fragmentul mai mare (b), precum fragmentul cel mare la cel mai scurt: a/b = b/c
______________________a_______________
_________b___________________c_________
În literatura de specialitate, la începutul secolului al XX-lea inginerul american James Mark McGinnis Barr (1871-1950) notează raportul Secțiunea de aur cu litera grecească φ (phi) provenită din prima literă a numelui celebrului sculptor Phidias (480-432 î.e.n.) în ale cărui lucrări s-a descoperit a-simetria ideală a esteticii echilibrului. Astrofizicianul și matematicianul israelian Mario Livio (n.1945) susține că „fascinația dată de Proporția de aur nu se limitează doar la matematicieni. Biologi, muzicieni, artiști plastici, arhitecți, chiar și psihologi au dezbătut fundamentele ubicuității și aplicării acestui număr magic! Este cred just să afirm că Proporția de aur a inspirat gânditorii tuturor disciplinelor așa cum nu a mai făcut-o nici un alt număr din istoria matematicii.”
Prima definiție consemnată a Secțiunea de aur datează din perioada în care matematicianul grec Euclid (cca.325 – cca. 265 î.e.n.) descrie raportul. Proprietățile unice ale formulei au ajuns să fie popularizate abia în secolul XV, când estetica a devenit o componentă intrinsecă a artei renascentiste. Secțiunea de aur este prezentă (și) în șirul pe care l-a alcătuit matematicianul italian Leonardo Fibonacci (0-1-1-2-3-5-8-13-21-etc.), matematician care a trăit la Pisa între anii 1170-1250. Elementele șirului se raportează unele la altele conform formulei matematice a Secțiunea de aur. Adevărul este, că acest raport se află pretutindeni în jurul nostru; din acest motiv, psihologul german Adolf Zeising (1810-1876) l-a numit lege universală care reprezintă principiul de bază al tuturor eforturilor de a ajunge la frumusețea ideală. Numeroase exemple stau mărturie prezenței Secțiunea de aur în arhitectură–de pildă Opera din Sydney, Galeria Națională din Londra sau Ateneul Român de la București. În artele plastice apare frecvent, de pildă în fresca de pe tavanul Capelei Sextine semnată de Michelangelo, unde intervalul dintre degetul Creatorului și a lui Adam reprezintă exact punctul de împărțire a celor două segmente ale formulei magice.
În ceea ce privește muzica, ea conturează o caracteristică aparte în spectrul folosirii Secțiunea de aur: pe de o parte, diferitele segmentele ale formei pot fi construite în raportul dorit spre a exprima a-simetria ideală, pe de altă parte, punctul culminant al lucrării plasat exact pe locul cezurii dintre cele două secțiuni, poate releva prezența proporției divine. Se pare că împărțirea materialului muzical conform structurării în funcție de magica formulă este prezentă în numeroase lucrări aparținătoare diverselor epoci stilistice, fără ca autorii să fi făcut apel la vreun calcul matematic.
Iată câteva exemple în sprijinul aserțiunii: Nu rareori s-a constatat în lucrările lui Giovanni Pierluigi da Palestrina (Renaștere) că punctul culminant al părții respective coincide exact cu cezura Secțiunii de aur. Același lucru se poate afirma despre unele opusuri semnate de Johann Sebastian Bach (Baroc) sau unele sonate pentru pian de Wolfgang Amadeus Mozart (Epoca clasică). Este vorba în special despre prima parte a sonatelor pentru pian unde structurarea segmentelor prezintă a-simetria specifică idealului estetic, expoziția pe de o parte, dezvoltarea și repriza, pe de alta. Compozitorul Béla Viktor János Bartók (Școlile naționale) a fost preocupat mereu de construirea formei lucrărilor sale în spiritul Secțiunea de aur, mărturie stau lucrările sale–de pildă Muzica pentru coarde, celestă și percuție. În concluzie, drept rezultat al proprietăților unice al structurării sale, unii privesc Secțiunea de aur ca fiind un raport sacru sau divin alții susțin că formula este însăși semnătura Creatorului.
Sofia Gelman–Kiss (Dr. în Muzicologie, membru fondator al „Fundației SAGA pentru Cultură, însărcinată cu acțiuni în domeniul muzicii”, Israel–Netania)
Alte articole ale autoarei Sofia Gelman–Kiss în Jurnalul Bucureştiului
Nota redacției
- Euclid l-a denumit pe φ ca fiind simpla împărțire a unui segment de dreaptă în ceea ce el a numit „medie” și „extremă rație”. Iată cuvintele lui: „Spunem că un segment de dreaptă a fost împărțit în medie și extremă rație atunci când segmentul întreg se raportează la segmentul mai mare precum se raportează segmentul cel mare la cel mai mic“. Cu alte cuvinte, dacă ( a + b )/a = a/b, atunci segmentul a+b a fost împărțit intr-o secțiune de aur cu simbolul φ. Raportul de aur este un număr irațional care poate fi calculat din ecuația ( a + b )/a = a/b = φ, care conduce la: Această ecuație algebrică de gradul al doilea are două soluții (rădăcini):
Deoarece φ este o fracție cu numitor și numărător pozitiv, φ este întotdeauna pozitiv:
- φ = φ 1 = 1 + 5 2 ≈ 1 , 61803 39887 . . .
Mulți artiști și arhitecți și-au proporționat lucrările conform raportului de aur, considerând că acesta conferă lucrării o estetică plăcută. În matematică acest raport are proprietăți interesante, și mai poate fi exprimat ca:
- Numerele Fibonacci sunt definite prin următoarea relație de recurență:
Astfel, fiecare număr Fibonacci este suma celor două numere Fibonacci anterioare, rezultând secvența: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … Primele 22 de numere din șir sunt: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946. După primele câteva numere din serie, celelalte au o proprietate interesantă: raportul dintre un număr al șirului și următorul număr din șir tinde spre 0,618; de exemplu raportul dintre 34 și 55 este aproximativ 0,618. De asemenea, raportul dintre un număr al șirului și cel aflat cu două poziții după el este aproximativ 0,382. De exemplu: 55/144 ≈ 0,382.
